Exemple de repère orthonormé

De la définition, cela signifie qu`il existe une base de vecteurs propres. Un ensemble orthonormale doit être linéairement indépendant, et il est donc une base vectorielle pour l`espace qu`il couvre. Nous pouvons aussi bien supposer que les vecteurs ont la norme $1 $. Il s`avère que cette condition, ainsi que le fait que toutes les valeurs propres de $A $ sont réels, est également suffisant, mais la preuve est assez longue. L`exemple le plus simple d`une base orthonormale est la base standard pour l`espace euclidien. Ainsi, avec des mesures similaires, nous en venons à la conclusion que $ $ AA ^ T = A ^ TA $ $ qui est une condition nécessaire pour $ mathbb{R} ^ n $ ayant une base orthogonale composée de vecteurs propres de $A $. En fait, étant donné toute base orthonormale, il y a une rotation, ou une rotation combinée avec un flip, qui enverra la base orthonormale à la base standard. Sur les nombres complexes, la condition $AA ^ H = A ^ HA $ ($A ^ H $ est la transposition conjuguée) est nécessaire et suffisante pour $ mathbb{C} ^ n $ ayant une base orthogonale consistant en des vecteurs propres de $A $, parce que l`existence des valeurs propres sur $ mathbb{C} $ n`est pas un problème la preuve est la même avec des modifications mineures. Une autre occurrence lorsque les bases orthonormiques se posent est un ensemble de vecteurs propres pour une matrice symétrique. Les économies d`effort font qu`il vaut la peine de trouver une base orthonormale avant de faire un tel calcul. Par exemple, la formule pour une projection d`espace vectoriel est beaucoup plus simple avec une base orthonormale. Par exemple,.

LET $A = begin{bmatrix}1 & 1 0 & 2 end {bmatrix} $. Le vecteur est le vecteur avec tous les 0s, sauf pour un 1 dans la coordonnée th. Merci! En particulier, les matrices symétriques sont diagonalisables (avec une matrice de diagonalisation orthogonale). Pour une matrice générale, l`ensemble des vecteurs propres peut ne pas être orthonormal, ou même être une base. Habituellement, quand on a besoin d`une base pour faire des calculs, il est commode d`utiliser une base orthonormale. Depuis $U $ est orthogonal, nous avons que $U ^ {-1} = U ^ T $, la transposition de $U $. Maintenant, nous allons calculer $ $ AA ^ T = (UDU ^ T) (UDU ^ T) ^ T = UDU ^ TUD ^ TU ^ T = UDD ^ TU ^ T $ $ et notez que $DD ^ T = D ^ TD $, parce qu`ils sont en diagonale (en effet $D = D ^ T $). Algorithme Schmidt, on peut prouver que pour chaque sous-espace de $ mathbb R ^ n $ il existe une base orthogonale, mais peut-être cette base n`est pas une base propre vecteur.

Pour élaborer: puisque les valeurs propres sont distinctes, les espaces propres sont unidimensionnels. Cependant, il a des valeurs propres distinctes, par conséquent il peut être diagonalized. En outre, ils sont tous tenus d`avoir la longueur un:. Par conséquent, une base orthogonale de vecteurs propres ne peut pas exister. L`orthonormalisation de Gram-Schmidt est un moyen populaire de trouver une base orthonormale. C`est-à-dire que les vecteurs sont mutuellement perpendiculaires. Une telle base est appelée une base orthonormale. Supposons que $ mathbb{R} ^ n $ ait une base orthogonale composée de vecteurs propres $v _1, V_2, dots, V_n $ de la matrice $A $.

Ce sont précisément les transformations qui préservent le produit intérieur, et sont appelées transformations orthogonales. Il est facile de vérifier que $ ker (A-I) = operatorname{SP} {(1,0) ^ T } $ et $ ker (A-2I) = operatorname{SP} {(1, 1) ^ T } $, et ces deux espaces ne sont pas orthogonaux. Ainsi, si nous considérons les vecteurs comme des colonnes et la matrice $ $ U = begin{bmatrix}V_1 & V_2 & dots & v_nend {bmatrix} $ $ et la matrice diagonale $ $ D = begin{bmatrix} d_1 & 0 & dots & 0 0 & d_2 & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & d_n end{bmatrix } $ $ où $Av _ k = d_kv_k $ $ (k = 1, 2, dots, n) $, nous avons $ $ A = UDU ^ {-1}.

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